0是任何整数的倍数

(东枝 伊江树)

    结束了1不是质数的论争之后，C老师又作惊人的论述：“0是任何整数的倍数！”真是语不惊人死不休。

    勉强接受了“1不是质数”的诸位老师，这时都觉得有必要出来抗争一番了。否则，不知老C还会发出多少谬论呢！

    “任何倍数，都会大于原来的整数。”一位老师反驳道。“例如6是2的倍数，而6就大于2；16是4的倍数，作为倍数的16也大于原来的整数4，这是很明显的道理。”

    “是呀，一个整数的任何因数，都会比原来的整数小；一个整数的任何倍数，都会比原来的整数大。这是天经地义的道理！”

    “任何正整数，都比0大；所以，0怎么有可能是任何整数的倍数呢！说是任何整数的因数还差不多呢！”

    C不慌不忙地笑着说：“根据因数倍数的定义，并没有规定某整数的因数一定要小于其原整数，其倍数一定要大于原整数的呀。”

    “虽然没有规定，但这是很明显的事实呀，何必一定要写成定理才接受！”

    “好吧，我们举一个例子。12的因数有哪些？”

    “1, 2, 3, 4, 6, 12。”

    “其中的12不是等于原来的整数12么？”

    “你这是在钻牛角尖了。好吧，就算我原先讲的不够准确，把它改为：‘一个整数的因数一定小于或等于原来的整数；一个整数的倍数一定大于或等于原来的整数’，这总算可以了吧。”

    “这是你的说法，在一般情况下也算正确，但碰到0这个特殊的数时，就不一定正确了。”

    “如何不正确，请多加指教。”

    “一个整数a，如能写成a= b x c，(b, c皆为整数)，则可以说a是b的倍数(也可说是c的倍数)，对这，诸位不会有不同的意见吧？”

    这是书本上的定义，一向视书本上的一切为金科玉律的诸位老师，当然不会对此有什么异议。

    “那么，0不是也可以写成0= n x 0 (n可以是任意一个整数)么？在这里，根据以上的定义，0不就可以说成是任何整数的倍数了么！”

    大家一时语塞，无法反驳。  

    一位老师不服气，说：“就算0是任何整数的倍数，讨论这个问题又有什么意义？学生们不知道这一点，还不是能够照样计算有关因数倍数的问题！”

    “是的，对于高小及初中阶段的学生来说，不知道0是任何整数的倍数这一点，可能对他们不会有什么影响，但高中生们在计算一些倍数问题时，如果忽视了这一点，有时就无法得出正确答案了。”C 一边解释，一边随手出了以下这么一道题目：

    例题：已知7n –2是3的倍数，9n –1是4的倍数，n是自然数，求n的最小值。

    解：3是7n –2的因数，扩大4倍，则12是28n –8的因数。

    4是9n –1的因数，扩大3倍，则12是27n –3的因数

    故12是28n –8和27n –3的公因数。

    故12也会是(28n –8) –(27n –3)的因数。

    所以12会是n –5的因数，或n –5是12的倍数。。

    故n –5可以是0，12，24等数。

    由n–5=0可以得n的最小值5。(将此值代入已知条件中验算，就会知道此答案正确。)

    如果否认0是任何整数的倍数这一点，而取n –5的最小值为12，就会得到n=17,

这并不是n的最小值。

    “所以，‘0是任何整数的倍数’这个概念是十分重要的。在高小及初中阶段时或许还不能对学生们说明，但到高中阶段时一定要向学生们讲解清楚，他们才不会在有关问题上触礁或不知所措。”C老师最后这样结束了他的话。