数学命题和宇集(Universal Set)的概念

(东枝   伊江树)

    在给学生讲了那么一大通有关奇数偶数的定义后，C老师没有想到，他会在几天之后碰到一个棘手的问题。

    那是在几天之后的数学课上，一位同学突然站起来问道：“老师，–2, –4这些数能不能说是偶数呢？”C肯定地回答：“可以的，这些数也可以说是偶数。”那位同学接着说：“但我们正规学校的老师却说这些数不能说是偶数。”C不由得一愣。本地华文学校基本上都只是属于“补习学校”，所以大部分学生都还同时得上有关正规学校(不论是国家办的公立学校或是最近几年来批准办的私立学校)。这时在一些课程上就会有这种情况出现了：华校认为“是”的东西在一些正规学校会被认为“非”，而正规学校认为“是”的东西在华校方面又会被认为“非”；这时搞得不好两边关系都会“紧张”起来。现在又碰到了这个问题。虽然C老师自信有把握解释清楚这–2,–4是偶数的问题，但考虑到可能会伤害到另一位从未谋过面的异校同行老师，他觉得

    应心平气和地解决这个问题，故反问那位同学：“你们正规学校对这奇偶数是如何下定义的？”那位同学显然是有备而来，马上从书包里拿出他们正规学校的数学课本来，翻到有关定义的部分后递给C老师。C老师一看，发现其定义是这样写着：

    “An even number is  the  natural  number  which  can  be  divided  by  2.”

    (偶数是能被2整除的自然数。)

    C 一看，就马上发现彼此之间的分歧点了。原来该学生所读的正规学校(很可能是新成立的一所私立学校)的数学老师所掌握的偶数是以自然数 为基础下的定义，而我们这里则是以整数 为基础下的定义。以自然数为基础下的定义，自然就会把负整数摒除在外(甚至都可把0摒除在外)。所以这位老师把–2, –4摒除在偶数之外，看来也是不能加以苛责的。

    由于课堂时间有限，C老师另外约这位同学进行详细说明。因为该同学已在此正规学校上到九年级了，学过集合(Set)的概念，所以C老师就以宇集(Universal Set)的概念和他讲解。

    解说一个数学命题时，宇集的概念是很重要的。例如方程x2 –x+1=0 之解，对一般初中生来说此方程是无解(正确的说法应是“无实数解”)的，但放在高中阶段来说却是有解的了。原因何在？在初中阶段时学生们只接触到实数(Real Number)的概念，对他们来说，数的最大集合(宇集)就是实数的集合，凡是不在实数之内的数就不予考虑。而到高中阶段，数的概念扩展到虚数、复数的部分了，故任何一元二次方程都是有解的了。

    现在的奇偶数的问题也是这样。我们所规定的宇集如果只是自然数的集合，那任何负偶数，–2, –4---——等都不用给以考虑了。如果宇集的规定是整数的集合，那所有的负偶数，–2, –4——等都包含在偶数的定义中了。

    同样的问题，在因数和倍数中也可见到。例如15的因数，人们通常会说只有1，3，5，15这四个；但有人可能会说–3, –5等也是15的因数。假使我们只是在自然数的范围内来考虑有关问题，那当然不用考虑任何负因数了。如果我们是在整数范围内来考虑有关问题，那么–3,–5等也可以说是15 的因数了。