缅华网  伊江树报导

在研究平方数的表格时，有老师发现有 的自然数平方数很相似，例如13，14，

31这三个自然数的平方数都是由1, 6, 9这三个数组成：

13² = 169，14² = 196，31² = 961 

这些自然数，它们的平方数为什么这样相似呢？有的老师问道。

“13 和 14是两个连续自然数，它们的平方数中百位数都是1，十位数与个位数是互相对调。而13 和 31也是十位数和个位数互相对调的两个自然数，它们的平方数中十位数相同，百位数与个位数互相对调。”有的老师这样分析道。

但这只是这几个自然数中发现的情况，其他自然数中几乎没有见到这种情况。

“可以出这样的题目让学生们演算：两连续自然数的平方相差27，求这两自然数。”

这太容易了，一位老师这样说道，而且马上就写出有关算式：

设这两自然数为a，a + 1，则根据题意，( a + 1)² – a² = 27，由此可得2a + 1 = 27，

解这方程就可得a = 13，a + 1 = 14了。

“其实，a, a + 1任意两个连续自然数的平方差都是2a + 1，所以知道一个数的平方数后，其后连续几个数的平方也可以很容易地写出来了。”另一位老师这么说道，而且很快就举一个例子连续写出好几个自然数的平方数了。

例如：25² = 625，故26² = 625 + 25 + 26 = 676，27² = 676 + 26 + 27 = 729等等。 

“所以呀，不必去死背硬记这些平方数，只要知道一个自然数的平方数，你就可以连续找出好几个自然数的平方数了。”一位不赞成死背硬记平方数的老师就这样说道。

“还是回到刚才的问题吧，说两连续自然数的平方相差27，我们可以轻而易举地求得这两连续自然数是13，14。但假设不说是连续自然数，而只说两自然数的平方差为27，可以求出这两个自然数吗？”有一位老师问道。

“只知道一个条件，要找出两个未知数，不可能吧？”有的老师说道。

“也许可以吧，我在大学时就见到一位老师采用过因式分解的方法求解类似的问题，只是不知道他的这个算法正规不正规、正确不正确而已。”M老师说，接着他就介绍了这个因式分解的算法。

设这两个自然数为x与y，已知x² – y² = 27，

x² – y² 可分解为(x + y)及(x – y)这两因式，而27可分解为1 x 27 及3 x 9，

x² – y² = 27

故x + y = 27 或 9 ------①

     x – y =   1或 3 -------②

方程① + ② 可得  2x = 28或12，由此可得x = 14或6

方程① – ② 可得 2y = 26或6，由此可得 y = 13 或3。

所以两个自然数的平方数相差为27的话，这两个自然数就是(13, 14)或(3, 6)。

“如果这个算法可行的话，那昨天我们争论的一个问题也可以解决了。”有两位老师这么说道。原来昨天他们发现49与51的平方数非常相似：49² = 2401,  51² = 2601，两个平方数相差200，他们就想：还有哪两个自然数的平方相差也是200，只是在平方数表格中一时找不出来，也不知要如何列式找出有关数值，现在可以用这方法找出来了。两位老师就开始列式算起来：

设两自然数x与y满足x² – y² = 200

则                                         x + y   = 200，100，50，40，25，20  

                                              x – y  =      1，    2，   4，  5       8，10 

x ,y必须是自然数，故只取x + y   = 100，50，20 -------①

                                                    x – y   =      2,     4，10 -------②

方程① + ② 可得                        2x   =  102或54或30，由此可得x = 51或27或15

方程① – ② 可得                         2y  =    98或46或10，由此可得 y = 49或23或10

故平方数相差为200的自然数有51与49，27与23，15与10

在这里计算平方数相差的问题时，有的老师已将他们寻找到的相似的平方数列出来了。

自然数12与21，它们的平方数分别为144及441。

自然数16与25，它们的平方数分别为256及625。

自然数36，54及96，它们的平方数分别为1296，2916及9216。

自然数32与49，它们的平方数分别为1024及2401。

自然数64与98，它们的平方数分别为4096及9604。

自然数33与99，它们的平方数分别为1089及9801。

这些数中，12与21是个位数与十位数互相对调的数，它们的平方数也是百位数与个位数互相对调的数。

54及96这两个自然数的平方数尾数相同，而千位数与百位数互相对调。

33与99，99是33的3倍，其的平方数是33的9倍。而1089这个平方数从后面倒过来念就是9801，这些奇特的现象，引人入胜，但要解释其原因，就不是那么容易的一件事了。

培训活动全部结束后，来授课的数学老师在启程回返台湾时动情地说，希望今后的培训活动，能多有这样的互动现象，而不是开课老师一人在台上讲解，学员们在课堂下记笔记而已。但没想到后来几年内新冠疫情突然爆发，类似的培训活动不得不停止了。