缅华网 伊江树报导

在谈到100以内的自然数的平方数寻找方法时，一些老师就提出了有一些自然数的平方数可以很容易地寻找出来，例如个位数是5的自然数，像15，25，35，45------至95的平方数就可以很容易地写出来。

一位老师就介绍道：“个位数如果是5，这个自然数的平方数最后两位数肯定是25，而百位数呢，就是原来的十位数加1，再乘以这原十位数就是了。”说完她就写了几个个位数是5的数算给大家看。

例如15的平方，最后两位数是25，百位数就是2 x 1 = 2, 故15² = 225。

25的平方，最后两位数是25，百位数就是3 x 2 = 6，故25² = 625。

35的平方，最后两位数是25，百位数就是4 x 3 =12，故35² = 1225。

她才写到这里，来开办培训班的老师就问道：“这个方法相信很多人都知道，但你能说明是什么原因吗？”

这一下很多人都不知道要怎样证明，幸亏有一位老师平常比较注意这些问题，故介绍道：“个位数是5的自然数，一般可用10a + 5表示出来，我们可看看，这10a + 5的平方是怎样的形式。”说完就写下下列算式给大家看：

(10a + 5)² = 100a² + 100a + 25 =100a(a + 1) + 25

“所以百位数就是 a x (a + 1)，最后两位数是25，就是这个原因了，我们可以接着写下来看看。”说完，其就接着写下几个个位数是5的自然数的平方数了。

45² = 100 x 4 x 5 + 25 = 2025，    55² = 100 x 5 x 6 + 25 = 3025，

65² = 100 x 6 x 7 + 25 = 4225，    75² = 100 x 7 x 8 + 25 = 5625，

85² = 100 x 8 x 9 + 25 = 7225，    95² = 100 x 9 x 10 + 25 = 9025。

“如果超过了100，那么这个方法还管用吗？”有人问道。

“试试看吧。”有人虽然知道肯定还会有效，但不直接说明，让大家自己检查看看。

105² = 100 x 10 x 11 + 25 = 11025，  115² = 100 x 11 x 12 + 25 = 13225，

125² = 100 x 12 x 13 + 25 = 15625，  135² = 100 x 13 x 14 + 25 = 18225。

检查到这里，发现都还是有效、正确。只不过数字越来越大，对两位数乘法要用心算就会困难了。

“除了个位数是5的自然数之外，其他自然数，是否也有较简便的方法？”有人继续探索地问道。

“十位数是5的自然数，51至59这些自然数的平方数，也有简便方法可求得。”一位老师就写出了这些自然数的平方数求法：

51² = ( 25 + 1) x 100 + 1 = 2601，    52² = ( 25 + 2) x 100 + 2² = 2704，

53² = ( 25 + 3) x 100 + 3² = 2809，  54² = (25 + 4 ) x 100 + 4² = 2916

至于证明，这位老师就学着刚才那位老师的方法，说：“十位数是5的这些数，可用50 + a的形式表达出来，我们可以看看这50 + a的平方会是怎样的形式。”

( 50 + a)² = 2500 + 100a + a² = 100 (25 + a) + a²

“所以可以看出，这些数的百位数就是25 + a，最后两位数就是 a²了。其他数的平方数，我们可以继续写看看。”该老师接着写下了以下几个数的平方数。

56² = ( 25 + 6 ) x 100 + 6² = 3136，  57² = ( 25 + 7 ) x 100 + 7² = 3249，

58² = ( 25 + 8) x 100 + 8² = 3364，   59² = ( 25 + 9 ) x 100 + 9² = 3481。

“如果数字继续增大，进入60以后，这个方法是否还继续有效？”又有人想起刚才个位数是5的自然数的情况，超过100以后有关算法还是继续有效的情况。

“试试看会有什么结果。”老师们接着演算了：61² = (25 + 11) x 100 + 11² = 3721

62² = ( 25 + 12) x 100 + 12² = 3844，     63² = ( 25 + 13) x 100 + 13² = 3969

发现还是继续有效，只是数字越大心算也就会越困难了。

“其实倒退回去，41至49这些自然数的平方数也可用这些方法演算，不过这时候要注意的是，有关平方数的最后两位数，不是个位数的平方数，而是这个自然数与50差距的平方数。”一位老师这么说道，并演算一些例子给大家看。

49² = ( 25 – 1) x 100 + 1 = 2401，   48² = (25 – 2) x 100 + 2² = 2304，

47² = (25 – 3) x 100 + 3² = 2209，  46² = (25 – 4) x 100 + 4² = 2116。

至于证明，该老师也沿用刚才的方法，将这些十位数是4的数用50 – a的形式写出来，然后看50 – a的平方是怎样的形式。

( 50 – a)² = 2500 – 100a + a² = 100 (25 – a) + a²

“所以这些数的平方数，最后两位数不是它们原来的个位数平方，而是其与50相差的平方数，百位数也是要从25中减去其与50相差的数。”

“例如，46的平方数，其最后两位数不是6的平方，而是4的平方(46与50相差4)，而百位数则是25减去4的数字。其他数字的平方我们可以继续写看看。”

44² = 100 x (25 – 6 ) + 6² = 1936，       43² = 100 x ( 25 – 7) + 7² = 1849

42² = 100 x ( 25 – 8) + 8² = 1764，       41² = 100 x (25 – 9) + 9² = 1681